4 Boyutlu küp deseydik işimiz çok kolaydı. Karenin alanı a^2, küpün hacmi a^3, 4 boyutlu kürenin volumü ise kolayca a^4 olacaktı. Önce küp örneğiyle uzunluk-alan hacim ilişkisine bu a^2, a^3, a^4’ü nasıl bulduğumuza ardından daire-küre-4 boyutlu küreye geçişe bakalım.
Bir x uzunluğu bir x uzunluğu boyunca dik şekilde çekilirse x^2 alan tarar. Bir x^2 alanı bir x uzunluğu boyunca çekilirse x^3 hacmi taranmış olur. Ve 4 boyutlu bir uzayda bunu bir adım öteye taşıyabilir x^3 hacmini yeni boyutta x uzunluğu boyunca çekerek x^4 volumlü 4 boyutlu küp elde etmiş oluruz.
Küpü hallettiğimize göre küreye geçebiliriz. Bir 2r uzunluğunu r kadar sağa ve r kadar sola çekeceğiz ancak bunu yaparken çektiğimiz 2r uzunluğunu çekme miktarımızla öyle bir orantıyla küçülteceğiz ki çekilen uzunluk tam bir daire tarayacak! Önce daha kolay bir örnekle ne yapmaya çalıştığımızı anlatayım. Diyelim ki bir a uzunluğunu sağa doğru çekerken çekme miktarımız kadar çektiğimiz a uzunluğunu küçültelim. Bu durumda a uzunluğu a/2 sağa çekildiğinde yeni uzunluğu a/2 olur. a kadar çekildiğinde ise a uzunluğu kalmaz. Ortaya çıkan taralı alan ucu sağa bakan bir üçgen olmuş olur. İşte daire yapmak için de benzer şekilde 2r uzunluğunu sağa ve sola çekerken küçültmemiz gerekecek. Bu oranın ne olduğu ise çekilen miktara y dersek y’ye bağlı bir fonksiyon olacak. Fonksiyonun çıkarımı için ise aşağıdaki şekle bakın.
“Çekilen miktarın karesi” artı “yeni uzunluğun yarısının karesi” r^2’ye eşit olur. Yani x^2 + y^2=r^2’dir. Burada çekilen miktar anlamına gelen y’yi yalnız bırakırsak yeni uzunluk anlamına gelen x cinsinden yazabiliriz. O da şudur. y=kök(r^2-x^2) bu fonksiyon bir eğri çizer (çeyrek daire). İşte büyük adım burada gelir. Fonksiyonun alanını yani uzunluğu çekerken taranan bölgeyi bulmak için integral hesabı yaparız r’den sıfıra integral kök(r^2-x^2)= evvet! pi r^2 / 4 !!
Dairenin alanını bulduğumuza göre diğer adıma geçebilir, aynı mantığı kullanarak daireden küre elde edebiliriz. Bir daireyi daireninin bulunduğu düzleme dik iki yöne doğru küçülterek çekeceğiz. Bu kez pi r^2 çarpı kök(r^2-x^2)’nin integrali sıfirdan r’ye bulup ikiyle çarparız. Ve sonuç 4/3pi r^3 çıkar. İntegral 4/3pi r^3 kök(r^2-x^2) ×2 işlemini yaptığımızdaysa 4 boyutlu kürenin hacmi olan 1/2 pi^2 r^4 buluruz!!
hasankuluk 